Math Repository
about
topic
al
year
ly
Yearly
2013
P1 Q10
Topical
DE
13 P1 Q10
2013 H2 Mathematics Paper 1 Question 10
Differential Equations (DEs)
Answers
(i)
z
=
1
2
(
3
−
A
e
−
2
x
)
{z = \frac{1}{2} \left( 3 - A\mathrm{e}^{-2x} \right)}
z
=
2
1
(
3
−
A
e
−
2
x
)
(ii)
y
=
1
2
(
3
x
+
A
2
e
−
2
x
)
+
C
{y = \frac{1}{2} \left( 3x + \frac{A}{2}\mathrm{e}^{-2x} \right) + C}
y
=
2
1
(
3
x
+
2
A
e
−
2
x
)
+
C
(iii)
d
2
y
d
x
2
=
−
2
d
y
d
x
+
3
{\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} = -2 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + 3 \;}
d
x
2
d
2
y
=
−
2
d
x
d
y
+
3
(iv)
Out of syllabus
Full solutions
(i)
d
z
d
x
=
3
−
2
z
1
3
−
2
z
d
z
d
x
=
1
∫
1
3
−
2
z
d
z
=
∫
1
d
x
\begin{gather*} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = 3 - 2 z \\ \frac{1}{3 - 2 z} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = 1 \\ \int \frac{1}{3 - 2 z} \; \mathrm{d}z = \int 1 \; \mathrm{d}x \\ \end{gather*}
d
x
d
z
=
3
−
2
z
3
−
2
z
1
d
x
d
z
=
1
∫
3
−
2
z
1
d
z
=
∫
1
d
x
Since
z
<
3
2
,
{z<\frac{3}{2},}
z
<
2
3
,
−
1
2
ln
(
3
−
2
z
)
=
x
+
c
ln
(
3
−
2
z
)
=
−
2
x
−
2
c
3
−
2
z
=
e
−
2
x
−
c
3
−
2
z
=
A
e
−
2
x
z
=
1
2
(
3
−
A
e
−
2
x
)
■
\begin{gather*} - \frac{1}{2} \ln \left( 3 - 2 z\right) = x + c \\ \ln (3-2z) = -2x-2c \\ 3-2z = \mathrm{e}^{-2x-c} \\ 3-2z = A\mathrm{e}^{-2x} \\ z = \frac{1}{2} \left( 3 - A\mathrm{e}^{-2x} \right) \; \blacksquare \end{gather*}
−
2
1
ln
(
3
−
2
z
)
=
x
+
c
ln
(
3
−
2
z
)
=
−
2
x
−
2
c
3
−
2
z
=
e
−
2
x
−
c
3
−
2
z
=
A
e
−
2
x
z
=
2
1
(
3
−
A
e
−
2
x
)
■
(ii)
d
y
d
x
=
z
d
y
d
x
=
1
2
(
3
−
A
e
−
2
x
)
y
=
1
2
(
3
x
−
A
−
2
e
−
2
x
)
+
C
y
=
1
2
(
3
x
+
A
2
e
−
2
x
)
+
C
■
\begin{gather*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = z \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{2} \left( 3 - A\mathrm{e}^{-2x} \right) \\ y = \frac{1}{2} \left( 3x - \frac{A}{-2}\mathrm{e}^{-2x} \right) + C \\ y = \frac{1}{2} \left( 3x + \frac{A}{2}\mathrm{e}^{-2x} \right) + C \; \blacksquare \end{gather*}
d
x
d
y
=
z
d
x
d
y
=
2
1
(
3
−
A
e
−
2
x
)
y
=
2
1
(
3
x
−
−
2
A
e
−
2
x
)
+
C
y
=
2
1
(
3
x
+
2
A
e
−
2
x
)
+
C
■
(iii)
d
y
d
x
=
1
2
(
3
−
A
e
−
2
x
)
d
2
y
d
x
2
=
1
2
(
2
A
e
−
2
x
)
=
A
e
−
2
x
=
−
(
−
A
e
−
2
x
)
=
−
(
3
−
A
e
−
2
x
−
3
)
=
−
(
3
−
A
e
−
2
x
)
+
3
=
−
2
d
y
d
x
+
3
■
\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{1}{2} \left( 3 - A\mathrm{e}^{-2x} \right) \\ \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} &= \frac{1}{2} \left( 2A \mathrm{e}^{-2x} \right) \\ &= A \mathrm{e}^{-2x} \\ &= - \left(-A \mathrm{e}^{-2x} \right) \\ &= - \left(3-A \mathrm{e}^{-2x} - 3 \right) \\ &= - \left(3-A \mathrm{e}^{-2x} \right) + 3 \\ &= -2 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + 3 \; \blacksquare \end{align*}
d
x
d
y
d
x
2
d
2
y
=
2
1
(
3
−
A
e
−
2
x
)
=
2
1
(
2
A
e
−
2
x
)
=
A
e
−
2
x
=
−
(
−
A
e
−
2
x
)
=
−
(
3
−
A
e
−
2
x
−
3
)
=
−
(
3
−
A
e
−
2
x
)
+
3
=
−
2
d
x
d
y
+
3
■
(iv)
Out of syllabus
Back to top ▲